微积分初阶-历史发展的眼光(9)莱布尼兹从差和分连续化得到微

发布于:2020-07-09 分类:X超生活   


连结:微积分初阶-历史发展的眼光(8)牛顿由运动现象的研究揭开微积分之谜

这一节我们介绍莱布尼兹如何由差和分走到微积分。关于发明微积分这件事情,莱布尼兹走着跟牛顿不同的路径,但是殊途同归。按数学常理,我们先从最简单的情况思考起,亦即线段的差和分

甲、从线段的差和分到微积分

在实数线上,考虑 $$A$$ 与 $$B$$ 两点,坐标分别为 $$a$$ 与 $$b$$,参见图14。

微积分初阶-历史发展的眼光(9)莱布尼兹从差和分连续化得到微

【问题5】线段 $$AB$$ 或闭区间 $$[a,b]$$ 的长度是多少?

显然是 $$b-a$$,但这是平凡的答案。若就此打住,我们就得不到深刻的结果。下面我们要来施展「有限步骤的分析与综合法」,由此就可以逐步寻幽探径,从差和分走入微积分的天地。

$$(\mathrm{i})$$ 出发点

将线段或闭区间 $$[a,b]$$ 分割成 $$n$$ 小段,分割点为:

$$a=x_1

第 $$k$$ 小段为 $$[x_k,x_{k+1}]$$,其长度为

$$\Delta{x_k}=x_{k+1}-x_k,~~~k=1,2,\mbox{…},n$$.

这是作有限步骤的分析(即分割)。$$\Delta{x_k}$$ 叫做差分,参见图15。

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将 $$n$$ 小段的长度相加起来:$$\Delta{x_1}+\Delta{x_2}+\mbox{…}+\Delta{x_n}$$,叫做综合,我们简记成 $$\sum^n_{k=1}\Delta x_k$$,叫做和分,代表求和之意,$$\sum^n_{k=1}$$ 表示从第 $$1$$ 项加到第 $$n$$ 项。显然我们可以得到:

$$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}\Delta x_k=x_{n+1}-x_1=b-a~~~~~~~~~(9)$$

推而广之,假设 $$(a_n)$$ 为一个给定的数列,如何求和 $$\sum_{k=1}^na_k?$$

【定理3】(差和分学根本定理)

如果可以找到另一个数列$$(b_n)$$,使得$$a_k=\Delta{b_k}=b_{k+1}-b_k$$,$$\forall{k}=1,2,\mbox{…},n$$,那幺就有

$$\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k=\sum^{n}_{k=1}\Delta b_k=b_{n+a}-b_1~~~~~~~~~(10)$$

$$(\mathrm{ii})$$ 中途的跳板

再来我们要往无穷步骤的分析与综合迈进,为了进行得平顺起见,我们考虑一个中途的跳板。现在想像将线段 $$[a,b]$$ 分割成 $$M$$ 小段,其中 $$M$$ 为很大很大的一个自然数,第 $$k$$ 小段的长度改记为 $$\delta x_k$$ ,$$k=1,2,\mbox{…},M$$再将这 $$M$$ 小段的长度相加起来,就得到

$$\displaystyle S^M_{k=1}\delta x_k=b-a~~~~~~~~~(11)$$

【注】记号 $$\sum$$ 是希腊字母,读作Sigma,表示「求和」之意。S 是拉丁文 Summa 的第一个字母,也表示「求和」之意。

此地我们用到了长度具有加性(additivity)的性质,也就是线段切成很多小段之后,再将各小段的长度加起来就等于原线段的长度,没有损失掉。面积也具有加性,但是钻石的价格就不具有加性。

现在我们想像作无穷步骤的分析与综合,让 $$M$$ 越来越大,乃至趋近于无穷大,这个无穷大是「非同小可的无穷大」。于是就从「有涯」飞跃到「无涯」。

$$(\mathrm{iii})$$ 终点站

将闭区间 $$[a,b]$$ 分割为「无穷多」段(想像实验),每一段都变成是「无穷小量」(infinitesimal),记为 $$dx$$,叫做微分运算,参见图16。再将这无穷多段的「无穷小量 $$ds$$」连续相加起来(即积分),就得到

$$\displaystyle\int^b_a dx=b-a~~~~~~~~~(12)$$

此式叫做完美的积分公式(the perfect integral formula)。

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我们也可以想像:给一个点 $$x$$,在闭区间 $$[a,b]$$ 中变动,考虑它的微分 $$dx$$,想像成在 $$x$$ 点处的无穷小变化量,再从 $$a$$ 到 $$b$$ 做积分。

注意到,无穷小量 $$dx$$ 是经过无穷步骤的分割才得到的,简直已经没有长度,根本无法表现为线段。但是在图16中,为了视觉的方便起见,我们把它作图成有长度的线段。不过,用不正确的图,却要作正确的论证。

【注】“$${\int}$$”是积分的记号,而“$${\int}_a^b$$”表示从 $$a$$ 到 $$b$$ 「连续求和」,又叫做积分。$$a$$ 叫做积分的下限,$$b$$ 叫做积分的上限。完美的积分公式 $${\int}_a^b{dx}=b-a$$ 表示将 $$dx$$ 从 $$a$$ 到 $$b$$ 积分(连续累积)起来就得到 $$b-a$$。

我们做成如下的对照表:

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这就解决了千古大难题,古希腊哲学家一直困扰着:由没有长度的「点」,累积成有长度的线段,这种「无中生有」的难题。「点」的长度不可积分,但是把点的长度诠译为「无穷小$$dx$$」就可积分了。

【习题3】有人说:永恆就是一生走过的道路,它含在每一瞬的微步之中。请你用微积分来表达。

在图17中,两线段 $$\overline{AB}$$ 与 $$\overline{CD}$$,一长一短,$$P$$ 点对应 $$Q$$ 点,故两线段的点一样多,但长度不同。因此,线段的长度不是「点」而是「无穷小量」累积出来的,这是微积分的伟大胜利。

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惠施说:

无厚,不可积也,其大千里。(见《庄子》天下篇)

现在有了微积分,让我们的观点提升,从原先古老的「无长之点不可积也,其大千里」,改为「无穷小量可积也,积出千里」:

$$\displaystyle{\int}_0^{1000}dx=1000-0=1000$$

【注】在微积分史上,无穷小量是引起最多争议的一个概念。它具有双重矛盾的性格:要多小就有多小,但是又不等于 $$0$$。换言之,它具有一个大神秘:可跟 $$0$$ 任意靠近,但是又不能碰触 $$0$$。在实际使用上,它有时不等于 $$0$$,有时又等于 $$0$$。

【习题4】如果一个实数具有「要多小就有多小」的性质,证明它必为 $$0$$。

有了无穷小量 $$dx$$,对于函数 $$y=f(x)$$ 在闭区间 $$[a,b]$$ 上所围成领域的面积莱布尼兹用 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 来表达。这个记号的意思是说:无穷多个无穷小的面积 $$f(x)dx$$(高×无穷小的底),让 $$x$$ 从 $$a$$ 到 $$b$$ 连续地求和(致积),即积分。这是很自然且抓住本质的美妙记号。

乙、函数的微积分:闻一知无穷

根据上述,对于线段 $$[a,b]$$ 作有穷步骤与无穷步骤的分析与综合,我们就得到三个美妙的三合一公式:

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}\Delta x_k=b-a\rightarrow S^M_{k=1}\delta x_k=b-a\rightarrow \int^b_a dx=b-a$$

这只是冰山的一角或太平洋的一滴水。我们要把它们推广到一般的函数

$$y=F(x),~~~x{\in}[a,b]$$

从冰山的一角看来整座的冰山,或从一滴水见出太平洋,成为:

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}\Delta F(x_k)=F(b)-F(a)\\\displaystyle\rightarrow S^M_{k=1}\delta F(x_k)=F(b)-F(a)\\\displaystyle\rightarrow \int^b_a dF(x)=F(b)-F(a)$$

从一个特殊的函数 $$y=x$$,飞跃到无穷多个相当任意的函数 $$y=F(x)$$,这是「闻一知无穷」的喜税,岂止是「闻一知十」!在数学中,这是经常发生的事情,「无穷」恰好是构成数学美的要素之一。

下面我们来详细解说。把函数 $$y=F(x)$$ 的图形想成是山坡的陵线,$$F(x)$$ 表示在 $$x$$ 点处的海拔高度。现在想像我们在假日要去登这座山,沿着山坡的曲线从 $$P$$ 点登到 $$Q$$ 点。参见图18。

【问题6】我们总共爬升的高度是多少?

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答案显然是 $$F(b)-F(a)$$。我们要再透过「分析与综合」来认识这个答案。

现在对闭区间 $$[a,b]$$ 作分割:

$$a=x_1

相应地,产生闭区间 $$[F(a),F(b)]$$ 的一个分割:

$$F(a)=F(x_1)

我们想像将登山的路径作成 $$n$$ 个台阶,高度是适合人来走路的步幅。

第 $$k$$ 阶的高度为 $$\Delta{F(x_k)}\equiv{F(x_{k+1})}-F(x_k)$$,$$k=1,2,…,n$$。接着将所有 $$n$$ 阶的高度全部相加起来,就得到:

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}\Delta F(x_k)=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(13)$$

如果是小青蛙要来登山,那幺台阶的高度要小一点,阶数要作得更多。我们想像作成 $$M$$ 阶,其中 $$M$$ 为很大很大的自然数,第 $$k$$ 阶的高度为

$$\delta F(x_k)\equiv F(x_{k+1})-F(x_k),~~~k=1,2,…,M$$

再将这 $$M$$ 阶的高度相加起来,就得到:

$$S^M_{k=1} \delta F(x_k)=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(14)$$

最后是无穷小的精灵要来登山,山坡必须作成无穷多阶,相应于 $$x$$ 点的阶高为无穷小 $$dF(x)\equiv{F(x+dx)}-F(x)$$。反过来,将无穷多段的无穷小段 $$dF(x)$$,从 $$x=a$$ 到 $$x=b$$ 连续累积起来,就得到下面的 $$(15)$$ 式:

$$\displaystyle \int^b_a dF(x)=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(15)$$

只要运用一点想像力,配合莱布尼兹优秀的记号,这些就都相当直观显明。我们也称 $$(15)$$ 式为完美的积分公式,这是 $$(12)$$ 式的推广。

对于 $$(15)$$ 式我们解释如下:将线段(区间) $$[F(a),F(b)]$$ 分割成无穷多段的无穷小段 $$dF(x)$$,这叫做分析微分。反过来,将无穷多段的无穷小段 $$dF(x)$$,从 $$x=a$$ 到 $$x=b$$ 连续累积起来就得到 $$(15)$$ 式,这叫做综合定积分

差和分的连续化、无穷小化、无穷化,就得到微积分。反过来,微积分的离散化、有穷化,就得到差和分。

对莱布尼兹来说,有了完美的积分公式 $$(15)$$,千古的求积分难题就容易解决了。

观察 $$(15)$$ 式与 $${\int}_a^b{f(x)dx}$$,就可看出:如果我们可以找到一个函数 $$F(x)$$,使得

$$dF(x)=f(x)dx~~~~~~~~~(16)$$

那幺透过 $$(12)$$ 式就得到

$$\displaystyle{\int}_a^b{f(x)}dx={\int}_a^b{dF(x)}=F(b)-F(a)$$

我们进一步来分析 $$(16)$$ 式的意思:$$dF(x)=f(x)dx$$ 就是

$$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$$ 或 $$DF(x)=f(x)$$

仍然是回归到微分法!给 $$f(x)$$,求$$F(x)$$,使得 $$DF(x)=f(x)$$,这是反微分操作。

【定理4】(微积分根本定理)

如果 $$DF(x)=f(x)$$,那幺就有

$$\displaystyle \int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(17)$$

因此,牛顿与莱布尼兹走入微积分的路径虽然不同,但却是殊途同归!

【例4】$$D(4x^3-4x^2+x)=12x^2-8x+1$$。此微分公式在例12中会用到。

连结:微积分初阶—历史发展的眼光(10)极限、无穷小量与连续函数

参考文献:


正文到此结束.