微积分初阶-历史发展的眼光(5)费玛的动态穷尽法求面积(Fi

发布于:2020-07-09 分类:X超生活   


连结:微积分初阶-历史发展的眼光(4)阿基米德求抛物线弓形领域的面积

费玛採用动态穷尽法(Method of dynamic exhaustion)来求积。他在1636年得到的下面的结果:

【例1】$$\displaystyle{\int}_0^b{x}^p{dx}=\frac{1}{p+1}b^{p+1}$$,$$p\in{N}$$.

【第一种算法1】(Fermat採用的等比分割法)

取公比 $$r~~(0

$$b>br>br^2>br^3>\mbox{…}$$

求不足的近似面积:

$$S_r=(b-br)(br)^p+(br-br^2)(br^2)^p+(br^2-br^3)(br^3)^p+\mbox{…}$$

$$=b^{p+1}r^p(1-r)(1+r^{p+1}+r^{2p+2}+r^{39+3}+\mbox{…})$$  无穷等比级数

$$=\displaystyle b^{p+1}r^p(1-r)\frac{1}{1-r^{p+1}}$$

$$=\displaystyle b^{p+1}r^p\frac{1}{(1-r^{p+1})/(1-r)}$$

$$=\displaystyle\frac{b^{p+1}r^p}{1+r+r^2+\cdots+r^p}$$

现在让 $$r\to 1$$($$r$$ 由小于 $$1$$ 的一方趋近于 $$1$$),分割会越来越精细,乃至每一小段都趋近于 $$0$$,就得到

$$\displaystyle \lim_{r\to 1}S_r=\lim_{r\to 1}\frac{b^{p+1}r^p}{1+r+r^2+\cdots+r^p}=\frac{b^{p+1}}{p+1}$$

 若採用等分割,计算较麻烦。需要用到下面的补题 $$1$$。

【补题1】设 $$p$$ 为自然数,则 $$1^p+2^p+\cdots+n^p=\displaystyle\frac{n^{p+1}}{p+1}+$$($$n$$ 的 $$p$$ 次多项式)。

【习题2】请利用数学归纳法证明补题1。

由补题1我们立即得到:

【补题2】$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}$$

【例1的第二种算法】(採用等分割法)

(i)分割:将区间 $$[0,b]$$ 分割为 $$n$$ 等份 $$0<\frac{b}{n}<\frac{2b}{n}<\cdots<\frac{(n-1)b}{n}不足的近似和 $$\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{kb}{n}\right)^p\frac{b}{n}=\frac{b^{p+1}}{n+1}[1^p+2^p+\cdots+(n-1)^p]$$
过剩的近似和 $$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{(k+1)b}{n}\right)^p\frac{b}{n}=\frac{b^{p+1}}{n^{p+1}}[1^p+2^p+\cdots+n^p]$$而真正的面积 $${\int}_0^b{x}^p{dx}$$ 夹在 $$T_n$$ 与 $$S_n$$ 之间:$$T_n\leq{{\int}_0^b}x^p{dx}\leq{S_n}$$(iv)取极限:由补题2知 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{b^{p+1}}{p+1}$$。
同理可得 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n=\frac{b^{p+1}}{p+1}$$ ,从而 $$\displaystyle\int^b_0 x^pdx=\frac{1}{p+1}b^{p+1}~~~~~~~~~\mathrm{QED}$$

Fermat 採用等比分割法的美妙是,立即可以推广到有理数次方的情形:

【例2】$$\displaystyle{\int}_0^b{x}^{p/q}{dx}=\frac{b^{(p/q)+1}}{(p/q)+1}=\frac{q}{p+q}b^{(p+q)/q}$$

【证明】参见图10,取公比 $$r$$,$$0

$$x_0=b>x_1=br>x_2=br^2>\mbox{…}$$

求近似面积

$$\begin{array}{ll}\displaystyle S_r&\displaystyle=\sum_{n=0}^\infty x^{p/q}_n(x_n-x_{n+1})=\sum_{n=0}^\infty (br^n)^{p/q}(br^n-br^{n+1})\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}(1-r)\sum_{n=0}^{\infty}r^{n(p+q)/q}\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}(1-r)\sum_{n=0}^{\infty}s^n~~~~~~,(s=r^{(p+q)/q})\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}\frac{1-r}{1-s}\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}\frac{1-t^q}{1-t^{p+q}}~~~~~~,(t=r^{1/q})\\&\displaystyle=b^{(p+q)/q}\frac{1+t+\cdots+t^{q-1}}{1+t+\cdots+t^{p+q-1}}~~~~~~,(1-t^n)=(1-t)(1+t+\cdots+t^{n-1})\end{array}$$

现在让 $$r\to{1}$$ (于是 $$t\to{1})$$ 得到

$$\displaystyle\lim_{r\to 1}S_r=\int^b_0 x^{p/q}dx=\frac{q}{p+q}b^{(p+q)/q}~~~~~~~~~\mathrm{QED}$$

微积分初阶-历史发展的眼光(5)费玛的动态穷尽法求面积(Fi

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参考文献:


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