微积分初阶-历史发展的眼光(3)微积分是「以有涯逐无涯」的学

发布于:2020-07-09 分类:X超生活   

连结:微积分初阶-历史发展的眼光(2)促动微积分诞生的四类问题

大家对于切线与面积当然都有直观的认识,但这还不够,必须进一步加以精鍊。更明确地说,我们必须在概念上先澄清下面两个问题:

什幺叫做切线?什幺叫做面积?

要回答这两个问题,都要使用到无穷步骤(infinite processes),这是微积分特有的标誌。

首先我们讨论,在函数 $$y=F(x)$$ 图形上一点的切线。切线是直线,由于相异两点才决定一直线,现在只通过一点就欲求切线,这是整个困难的所在。然而我们注意到,在通过 $$P$$ 点的其他直线中都跟曲线至少有另一交点 $$Q$$,这种直线叫做割线。它提供给我们掌握切线的契机:考虑割线 $$PQ_1$$,$$PQ_2$$,...,然后让 $$Q_n$$ 沿着曲线逐渐趋近于 $$P$$,乃至「无穷地接近」于 $$P$$,但不能碰触 $$P$$,那幺割线的「极限」(limit)就是通过 $$P$$ 点的切线,参见图3。

微积分初阶-历史发展的眼光(3)微积分是「以有涯逐无涯」的学

整个关键要点在掌握住斜率。

考虑 $$x$$ 的变化量 $$\Delta{x}$$,于是割线的斜率为 $$\displaystyle\frac{\Delta{F(x)}}{\Delta{x}}=\frac{F(x+\Delta{x}-F(x))}{\Delta{x}}$$,

现在让 $$\Delta{x}$$ 越来越小,乃至趋近于 $$0$$,亦即取极限:$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$

这个极限值就是切线斜率,记为 $$DF(x)$$ 或 $$\displaystyle\frac{dF(x)}{dx}$$ 或 $$F'(x)$$。我们用图4来表示:微积分初阶-历史发展的眼光(3)微积分是「以有涯逐无涯」的学

其次,我们讨论函数 $$y=f(x)$$ 在闭区间 $$[a,b]$$ 上所围成的平面领域之面积。整个想法是:首先将闭区间 $$[a,b]$$ 作分割,对应于一个分割就作出许多小长条矩形,将它们的面积都加起来,得到如图5的左图阴影领域之近似面积,然后让分割一直加细下去,那幺近似面积的「极限」就是所欲求的面积,参见图5之右图。微积分初阶-历史发展的眼光(3)微积分是「以有涯逐无涯」的学

求切线(微分)是「易算难明」,求面积(定积分)是「易明难算」。表面上看起来,两者似乎不相干,实则为互逆的密切关係!

如何求算切线与面积呢?经过约两千年的追寻,从古希腊开始,一直到了$$17$$世纪的后半叶,牛顿(Newton,$$1642-1727$$)与莱布尼兹(Leibniz,$$1646-1716$$)两人才独立地看出:

透过容易的「反求切线」(反微分法),
恰好可以解决困难的「求面积问题」(即定积分)

从而,微分法揭开了一切运动与变化现象、求极值、求切线以及求面积等诸问题,于是微积分就诞生了。微分法的是「两面刃」,正向的「微分」可以解决求切线问题,而逆向的「反微分」可以解决千古的「定积分」难题,简直是削金斩泥。

庄子说:

吾生也有涯,如地无涯,以有涯逐无涯,殆矣。

这是古人面对无穷时的绝望与无助。然而微积分的求切与求积恰好是透过「极限」(或无穷小量)从「有涯」飞跃到「无涯」,定义出微分与积分,从而创立微积分。

因此我们可以说:

微积分是以有涯逐无涯,成矣。

牛顿与莱布尼兹两人独立发明微积分,虽然他们的切入方法不同,但是却殊途同归,英雄所见略同。牛顿由运动现象的里程函数与速度函数的关係切入;而莱布尼兹由差和分切人,再作连续化。两人同样都看出微积分的两个主要结果:

连结:微积分初阶-历史发展的眼光(4)阿基米德求抛物线弓形领域的面积

参考文献:


正文到此结束.