半角公式(II)

发布于:2020-06-20 分类:X超生活   


连结: 半角公式(I)

在1580年左右,法国代数学家维塔(François Viète,1540-1603)

曾经提出一个漂亮的正切函数半角公式:$$\displaystyle\frac{{a + b}}{{a – b}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}$$。

证明的方法是利用正弦定理及和差化积公式:

$$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{{a + b}}{{a – b}} &=\displaystyle \frac{{2R\sin A + 2R\sin B}}{{2R\sin A – 2R\sin B}} = \frac{{\sin A + \sin B}}{{\sin A – \sin B}} \\&=\displaystyle \frac{{2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}{{2\sin \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}=\displaystyle \frac{{\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)/\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)/\cos \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}} \\&=\displaystyle \frac{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}\end{array}$$

维塔也曾利用半角公式的想法导出 $$\pi$$ 的神奇公式:

$$\displaystyle\frac{2}{\pi } = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{2} \cdot …$$

,维塔运用加法、乘法、开根号操作顺利将 $$\pi$$ 值求出,这也是人类第一次用无穷乘积的运算将圆周率表达出来。另外,数学史上最多产的数学家欧拉(Leonhard Euler, 1707-1783)曾经利用半角公式,导出令人惊讶的数学式:

$$\displaystyle\frac{1}{\pi } = \frac{1}{4}\tan \frac{\pi }{4} + \frac{1}{8}\tan \frac{\pi }{8} + \frac{1}{{16}}\tan \frac{\pi }{{16}} + …$$

他首先利用 $$\displaystyle\cot 2x = \frac{1}{{\tan 2x}} = \frac{{1 – {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}} = \frac{{\cot x – \tan x}}{2},x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z$$,

移项及变换变数,得

$$\begin{array}{ll}\displaystyle\cot x &=\displaystyle \frac{1}{2}(\cot \frac{x}{2} – \tan \frac{x}{2})\\&=\displaystyle \frac{1}{4}(\cot \frac{x}{4} – \tan \frac{x}{4}) – \frac{1}{2}\tan \frac{x}{2}\\&=\displaystyle \frac{1}{8}(\cot \frac{x}{8} – \tan \frac{x}{8}) – \frac{1}{4}\tan \frac{x}{4} – \frac{1}{2}\tan \frac{x}{2}\\&= …\\&=\displaystyle \frac{1}{{{2^n}}}(\cot \frac{x}{{{2^n}}} – \tan \frac{x}{{{2^n}}}) – \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}\tan \frac{x}{{{2^{n – 1}}}} – … – \frac{1}{2}\tan \frac{x}{2}\end{array}$$

又 $$\begin{array}{ll}\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{2^n}}}\cot \frac{x}{{{2^n}}}&=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cos \frac{x}{{{2^n}}}}}{{\sin \frac{x}{{{2^n}}}}}}}{{{2^n}}} \\&=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \frac{x}{{{2^n}}} \cdot \left[ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{x}{{{2^n}}}}}{{\sin \frac{x}{{{2^n}}}}}} \right] \cdot \frac{1}{x} \\&= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}\end{array}$$,

因此,上式可以转换为

$$\displaystyle\cot x = \frac{1}{x} – \frac{1}{{{2^n}}}\tan \frac{x}{{{2^n}}} – \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}\tan \frac{x}{{{2^{n – 1}}}} – … – \frac{1}{2}\tan \frac{x}{2},n \to \infty$$

,同义于 $$\displaystyle\frac{1}{x} – \cot x = \frac{1}{2}\tan \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\tan \frac{x}{4} + \frac{1}{8}\tan \frac{x}{8} + …$$

,令 $$x=\displaystyle\frac{\pi}{4}$$ 代入得 $$\displaystyle\frac{4}{\pi } – 1 = \frac{1}{2}\tan \frac{\pi }{8} + \frac{1}{4}\tan \frac{\pi }{{16}} + …$$,

此即为 $$\displaystyle\frac{1}{\pi } = \frac{1}{4}\tan \frac{\pi }{4} + \frac{1}{8}\tan \frac{\pi }{8} + \frac{1}{{16}}\tan \frac{\pi }{{16}} + …$$,欧拉的运算真令人叹为观止。

在数学教学中,倍角公式与半角公式是互为表里,另一个常见的半角公式:

若令 $$\displaystyle\tan \frac{\theta }{2} = t$$,则 $$\displaystyle\sin \theta= \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos \theta= \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}},\tan \theta= \frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$$。

证明的方式是先处理 $$\tan\theta$$,

利用二倍角公式 $$\displaystyle\tan \theta= \tan (2 \cdot \frac{\theta }{2}) = \frac{{2\tan \frac{\theta }{2}}}{{1 – {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}} = \frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$$,

再透过 $$\tan\theta$$ 的定义,将 $$1-t^2$$ 视为邻边,将 $$2t$$ 视为对边,

则斜边为 $$\sqrt {{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}+ {{\left( {2t} \right)}^2}}= \sqrt {{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}= 1 + {t^2}$$,

最后根据正弦函数与余弦函数的定义,得 $$\displaystyle\sin \theta= \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos \theta= \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$$。

这个结果可以大量简化运算过程,如 $$\displaystyle\tan\frac{\theta}{2}=-3$$,我们无须判别 $$\displaystyle\frac{\theta}{2}$$ 所在的象限,

即得 $$\sin \theta= \frac{{2 \times \left({ – 3} \right)}}{{1 + {{\left( { – 3} \right)}^2}}}=-\frac{3}{5},\cos \theta= \frac{{1 – {{\left( { – 3} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( { – 3} \right)}^2}}}=-\frac{4}{5},\tan \theta= \frac{{2 \times \left( { – 3} \right)}}{{1 – {{\left( { – 3} \right)}^2}}}= \frac{3}{4}$$

除此之外,这个结论在积分时也十分常用,例如:计算 $$\int_0^x {\sec x} dx$$ 的值?

其中的一种解法为 $$\int_0^x {\sec x} dx = \int_0^x {\frac{1}{{\cos x}}dx}$$,利用变换变数,令 $$u = \tan \frac{x}{2}$$,

两边同时微分得 $$du = \frac{1}{2}{\sec ^2}\frac{x}{2}dx$$,移项得 $$dx = \frac{2}{{1 + {u^2}}}du$$,而

$$\displaystyle\cos x = \cos \left( {2 \cdot \frac{x}{2}} \right) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} – 1 = \frac{2}{{{{\sec }^2}\frac{x}{2}}} – 1 = \frac{2}{{1 + {u^2}}} – 1 = \frac{{1 – {u^2}}}{{1 + {u^2}}}$$

,如此原式得

$$\begin{array}{ll}\displaystyle\int_0^x {\sec x} dx &=\displaystyle \int_0^x {\frac{1}{{\cos x}}dx}= \int {\frac{{\frac{2}{{1 + {u^2}}}du}}{{\frac{{1 – {u^2}}}{{1 + {u^2}}}}}= \int {\frac{2}{{1 – {u^2}}}du} }\\&=\displaystyle \int {\left[ {\frac{1}{{1 + u}} + \frac{1}{{1 – u}}} \right]} du= \ln \left| {1 + u} \right| – \ln \left| {1 – u} \right|\\&=\displaystyle \ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right|= \ln \left| {\frac{{1 + \tan \frac{x}{2}}}{{1 – \tan \frac{x}{2}}}} \right|= \ln \left| {\frac{{\tan \frac{\pi }{4} + \tan \frac{x}{2}}}{{1 – \tan \frac{\pi }{4} \cdot \tan \frac{x}{2}}}} \right| \\&=\displaystyle \ln \left| {\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2}} \right)} \right|\end{array}$$

。其中

$$\begin{array}{ll}\displaystyle\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2}} \right) &=\displaystyle \frac{{1 + \tan \frac{x}{2}}}{{1 – \tan \frac{x}{2}}} = \frac{{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2} – \sin \frac{x}{2}}} \\&=\displaystyle \frac{{{{\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)}^2}}}{{\left( {\cos \frac{x}{2} – \sin \frac{x}{2}} \right)\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)}} = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}} \\&= \sec x + \tan x\end{array}$$

最后,得到 $$\int_0^x {\sec xdx}= \ln \left| {\sec x + \tan x} \right|$$。

总之,读者若善用半角公式的巧妙之处,在解题过程必能事半功倍,节省许多无需浪费的宝贵时间。


参考资料:


正文到此结束.