微积分初阶-历史发展的眼光(4)阿基米德求抛物线弓形领域的面

发布于:2020-07-09 分类:E阅生活   


连结:微积分初阶-历史发展的眼光(3)微积分是「以有涯逐无涯」的学问

微积分学的发展历史源远流长,我们只选取古希腊伟大的数学家阿基米德(Archimedes, 287-212 B.C.)以及17世纪初的费玛(Fermat, 1601-1665)当作样本来介绍。

首先我们看阿基米德如何使用「穷尽法」(Method of Exhaustion)来求抛物线弓形领域的面积。

【问题1】考虑抛物线 $$y=x^2$$,被直线 $$y=1$$ 所截,得到一个抛物线弓形领域,即图6的阴影部份。求抛物线弓形领域的面积。

微积分初阶-历史发展的眼光(4)阿基米德求抛物线弓形领域的面

阿基米德的严格工具是穷尽法(Method of Exhaustion)与归谬法

后者是古希腊文明的独创,它是论证与思考的利器,是征服无穷步骤的妙方。微积分初阶-历史发展的眼光(4)阿基米德求抛物线弓形领域的面

如图7,将抛物线弓形的领域逐步挖出三角形,只要持之以恆,终究会「穷尽」整块领域。阿基米德的做法如下:

第一回合:挖出 $$\Delta{AOB}$$(最大的一块牛排),它的面积为 $$1$$。
第二回合:挖出对称的两块 $$\Delta{AQO}$$ 与 $$\Delta{BPO}$$,它们的面积和为 $$1/4$$。
第三回合:挖出四块更小的三角形,它们的面积和为 $$1/16$$。
按此要领一直挖下去,最终得到一个无穷级数:

$$\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{4^{n-1}}+\cdots~~~~~~(1)$$

叫做阿基米德级数(Archimedean series),它堪称为数学史上第一个无穷级数。这些三角形都叫做阿基米德三角形(Archimedean triangles)。

【习题1】求各回合的阿基米德三角形之面积。

今日我们利用无穷等比级数的求和公式,立即就得到

$$\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{4^{n-1}}+\cdots=\frac{1}{1-1/4}=\frac{4}{3}~~~~~~(2)$$

另外,我们也可以採用甲乙两人对局(game)的观点来证明此式。考虑边长为 $$2$$ 的正方形,面积为 $$4$$,参见图8:

第一回合:将正方形平分成四个小正方形,甲取一个,乙取两个,剩下一个。
第二回合:将剩下一个正方形再平分成四个小正方形,甲取一个,乙取两个。
按此要领一直做下去,最终会穷尽。

甲所取得的正好是 $$(1)$$ 式的无穷级数,并且甲乙两人以 $$1:2$$ 来瓜分,因此甲分得 $$\frac{1}{3}$$,乙分得 $$\frac{2}{3}$$。总量为 $$4$$,故甲得到 $$\frac{4}{3}$$,从而证得 $$(2)$$ 式。这是一个美妙的论证。

微积分初阶-历史发展的眼光(4)阿基米德求抛物线弓形领域的面

在图9里,$$y$$ 轴将抛物线弓形的领域平分,一半的面积为 $$\frac{2}{3}$$,从而得到下面的结果:

【定理1】(阿基米德定理)图9阴影领域的面积为 $${\int}_0^1{x}^2{dx}=\frac{1}{3}$$。

【注】这虽然是间接求得的结果,但却是数学史上第一个定积分公式。计算得巧妙,然而算得相当辛苦。

连结:微积分初阶-历史发展的眼光(5)费玛的动态穷尽法求面积

参考文献:


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